复旦大学数学类基础课程

 《数学分析》教学大纲

 

218.003.1  数学分析( I     学分数5  周学时4+2

                             总学时96

                            (讲课64,习题课32

218.003.2  数学分析( II     学分数5  周学时4+2

                             总学时96

                            (讲课64,习题32

218.003.3  数学分析( III    学分数4  周学时3+2

                             总学时80

                            (讲课48,习题32

 

课程性质与基本要求

课程性质:数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学系本科一、二年级学生的必修课。

本课程总学时为272学时,其中讲课为176学时,习题课为96学时,共分三学期完成,分别为数学分析( I ),数学分析( II ),数学分析( III )。

基本要求:通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

 

教学方式与指导思想

教学方式:以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。

指导思想:微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容。

数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法,提高学生的数学修养。

 

教学内容,教学要求与学时分配

                 学时(含习题课)

数学分析 I

 

第一章  集合与映射       8

    §1.集合

§2.映射与函数

本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示法,函数的表示法与函数的一些基本性质。

 

第二章  数列极限        16

§1.实数系的连续性

§2.数列极限

§3.无穷大量

§4.收敛准则

本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收敛准则,理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列基本定理。

 

        第三章  函数极限与连续函数     16

§1.函数极限

§2.连续函数

§3.无穷小量与无穷大量的阶

§4.闭区间上的连续函数

本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质。

 

        第四章              15

§1.微分和导数

§2.导数的意义和性质

§3.导数四则运算和反函数求导法则

§4.复合函数求导法则及其应用

§5.高阶导数和高阶微分

本章教学要求:理解微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质及相互关系,熟练掌握求导与求微分的方法。

 

        第五章  微分中值定理及其应用    21

§1.微分中值定理

§2.L'Hospital法则

§3.插值多项式和Taylor公式

§4.函数的Taylor公式及其应用

§5.应用举例

§6.函数方程的近似求解

本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的Taylor公式,应用于函数性质的研究,熟练运用L'Hospital法则计算极限,熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。

 

        第六章  不定积分          9

§1.不定积分的概念和运算法则

§2.换元积分法和分部积分法

§3.有理函数的不定积分及其应用

本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。

 

        第七章  定积分(§1 —§3)      11

§1.定积分的概念和可积条件

§2.定积分的基本性质

§3.微积分基本定理

 

        期末考试

                   

数学分析 II

 

        第七章  定积分(§4 —§6)      15

§4.定积分在几何中的应用

§5.微积分实际应用举例

§6.定积分的数值计算

本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿—莱布尼兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物理与实际应用中的问题,初步掌握定积分的数值计算。

 

        第八章  反常积分           9

§1.反常积分的概念和计算

§2.反常积分的收敛判别法

本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。

 

        第九章  数项级数           21

§1.数项级数的收敛性

§2.上级限与下极限

§3.正项级数

§4.任意项级数

§5.无穷乘积

本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极限的概念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘积的敛散性。

 

        第十章  函数项级数          21

§1.函数项级数的一致收敛性

§2.一致收敛级数的判别与性质

§3.幂级数

§4.函数的幂级数展开

§5.用多项式逼近连续函数

本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练展开函数为幂级数,了解函数的幂级数展开的重要应用。

 

       第十一章  Euclid空间上的极限和连续   9

§1.Euclid空间上的基本定理

§2.多元连续函数

§3.连续函数的性质

本章教学要求:了解Euclid空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧集上连续函数的性质。

 

       第十二章  多元函数的微分学(§1—§5) 21

§1.偏导数与全微分

§2. 多元复合函数的求导法则

§3.Taylor公式

§4.隐函数

§5.偏导数在几何中的应用

 

       期末考试                    

数学分析 III

                              

       第十二章  多元函数的微分学(§6—§7) 7

§6.无条件极值

§7.条件极值问题与Lagrange乘数法

本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法,掌握偏导数在几何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。

 

        第十三章  重积分           19

§1.有界闭区域上的重积分

§2.重积分的性质与计算

§3.重积分的变量代换

§4.反常重积分

§5.微分形式

本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算方法,会熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。

 

        第十四章  曲线积分与曲面积分     28

§1.第一类曲线积分与第一类曲面积分

§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分

    §3.Green公式,Gauss公式和Stokes公式

§4.微分形式的外微分

§5.场论初步

本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法,掌握Green公式,Gauss公式和Stokes公式的意义与应用,理解外微分的引入在给出Green公式,Gauss公式和Stokes公式统一形式上的意义,对场论知识有一个初步的了解。

 

        第十五章  含参变量积分        12

    §1.含参变量的常义积分

    §2.含参变量的反常积分

§3.Euler积分

本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量反常积分一致收敛的概念,一致收敛的判别法,一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用,掌握Euler积分的计算。

 

        第十六章  Fourier级数         14

§1.函数的Fourier级数展开

§2. Fourier级数的收敛判别法

    §3. Fourier级数的性质

§4. Fourier变换和Fourier积分

§5.快速Fourier变换

本章教学要求:掌握周期函数的Fourier级数展开方法,掌握Fourier级数的收敛判别法与Fourier级数的性质,对Fourier变换与Fourier积分有一个初步的了解。

 

期末考试

                   

考核方式

闭卷考试