摘要：Let $X=(X_{1},X_{2},/cdots,X_{m})$ be a system of real smooth vector fields defined on a smooth compact manifold $M$ which endowed with a smooth positive measure $/mu$. Assume $X$ satisfies the H/”ormander's condition, then the formally self-adjoint operator $ /triangle_{X}=-/sum_{i=1}^{m}X_{i}^*X_{i}$ is a sub-elliptic operator. Denote $/lambda_{k}$ be the $k$-th eigenvalue for the sub-elliptic operator $/triangle_{X}$ on $M$. We shall give a lower bound of $/lambda_{k}$ and also establish an explicit asymptotic formula of $/lambda_k$ under a certain condition. Actually, this condition is necessary for such asymptotic result to be hold. Thus it can be obviously deduced  that our lower bound estimate for $/lambda_{k}$ is optimal in the sense of the order of $k$. 

个人简介： 陈化教授,1982年本科毕业于武汉大学数学系（77级），1986年7月获得武汉大学理学博士学位并留校任教。1993年晋升为武大数学系教授，1995年5月被评为武大数学系博士生导师，2004年入选为湖北省科技精英并被聘为首届武汉大学珞珈特聘教授。曾担任武汉大学数学与统计学院院长（2000-2016），中国数学会常务理事（1999-2007，2011-2015），中国工业与应用数学会常务理事（2006-2010）；现为武汉大学数学协同创新中心主任，国务院学科数学评议组成员，湖北省暨武汉数学会理事长，湖北省计算科学省重点实验室主任；同时还担任多个国内外SCI杂志的编委。

    陈化的研究方向为偏微分方程的微局部分析理论，退化型偏微分方程，具生物和医学背景的偏微分方程和偏微分方程的谱理论；至今已主持国家自然科学基金项目十七项，其中包括国家杰出青年基金(2001-2004)和国家海外杰出青年合作基金（2009-2011），参加八五国家重点项目（1993-1995）、九五国家重点项目（1996-2000）、十一五国家重点项目（2007-2011），并主持十二五国家重点项目（2012-2016）、十三五国家重点项目（2017-2021）以及国家基金委天元基金交叉平台项目等，还为国家重大项目973核心数学项目组成员（2001-2006）并获国家教育部跨世纪优秀人才基金(1998-2000)）。

陈化至今在专业的SCI数学杂志上发表论文80多篇，曾获国家教育部科技进步二等奖两次以及获国家教育部自然科学奖一等奖一次。

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