我们把变步长BDF公式看成一类非局部卷积逼近（局部差分或差商的卷积和），在相应离散卷积核正定（梯度稳定）的条件下，借助于一个新的离散分析工具---离散正交卷积核，建立了扩散方程二阶变步长BDF格式的L2模稳定性和收敛性。新的L2模稳定性合理地模拟了连续问题的稳定不等式，相应L2模误差估计几乎不依赖时间步长比参数，这充分表明二阶BDF格式对步长变化具有很强的鲁棒性，本质上改进了这个经典刚性求解器沿用四十年的稳定性结果。我们也考虑了三阶以及高阶BDF格式，研究了相应离散正交卷积核的理论性质，并将新分析方法应用到若干非线性相场模型，得到了一些新的理论结果。

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