课题1：利率期限结构的数学模型和计算
指导教师：陆立强
课题简介：利率模型是金融学关心的重要问题，利率是金融产品定价的重要依
据。本课题研究的问题是如何根据债券的价格来确定利率函数，即利率与期限的
关系，建立动态模型及其求解算法，并对于各种利率模型利用实证分析方法进行
检验。主要方法：在估计利率曲线的研究中，一般采取先估计出各期的折现因
子，再对其它期限进行插值估计的方法。我们面临的困难是债券品种少，期限结
构分布不均匀，我们的任务是探索有效的数学建模方法使估计误差最小化。
课题2：正交多项式的渐进分析和黎曼-希尔伯特问题
指导教师: 王珺
课题简介: 正交多项式在数学和物理方面有广泛应用, 比如函数逼近和拟合,精密测量,随机理论,GPS数据处理等等. 黎曼-希尔伯特方法是由P.DEIFT和ZHOU XIN九十年代引入的,通过一系列变换,将正交多项式对应的黎曼-希尔伯特问题化为可求解的情况, 从而得出次数趋于无穷时正交多项式的渐进行为.适合数学系高年级学生.
课题3：代数簇和解析簇初步
指导教师：张毅
课题简介：了解代数簇和解析簇的形成与代数几何的发展历史。课题将根据学生的潜力和兴趣按以下三部分进行：
1、以经典代数几何的技巧为主线，学习仿射代数簇和射影代数簇的基本知识和方法，偏重于实例。
2、学习代数几何中初等解析理论，包括复流形初步，Hodge分解理论，解析簇和复域上的曲线Riemann－Roch 定理和应用， 复域上的椭圆曲线。
3、以代数曲线理论为主，学习一般域上的曲线Riemann－Roch 定理。有限域上椭圆曲线基本理论， p-adic 数。
通过本课题，开阔学生的视野，使学生对代数几何的核心思想、基本知识与初等技术以及和其他学科的关系（如 复变函数论， 数论， 微分几何， 椭圆曲线公匙密码）能有较好的了解，为进一步学习现代数学提供背景。
课题4：Hamilton系统中的有序及复杂动力学研究
指导教师：严军
课题简介： Hamilton力学是Nowton力学和Lagrange力学的自然推广。Hamilton动力系统研究不仅具有重要的理论意义，而且对其他领域（如理论物理，力学等）有深刻的影响。本课题拟就Hamilton动力系统各种有序，复杂的运动展开研究。具体地说，研究各类不变集的存在性及其动力学行为，动力学不稳定性的数学机理。
数学类专业大学二三年级学生已掌握常微分方程，微分几何基本知识的同学，可以开展一些初步的研究。已掌握一阶偏微分方程和变分学基本知识的同学，可以开展一些较深入的研究。
课题5：非线性化理论在可积系统中的应用
指导教师：秦振云
课题简介: 孤立子与可积系统是非线性科学的重要组成部分，是当前应用数学和理论物理研究的热门方向，在物理、力学、工程等领域中有重要应用. 近年来，提出和发展的Lax对非线性化方法是构造有限维Hamilton系统十分活跃有效方法, 不仅从理论上给出了可积系统分解和求解的思想，而且可成功地用于求孤立子方程的显式精确解,特别是代数几何解。代数几何解是一种非常重要的精确解，通常其它许多类型的解，如孤立子解、有理解以及周期解都可以从其退化得到.
开展课题研究需要除了大学主要数学课程外，有时需要符号运算软件，如Maple, Mathematica等。选题对象：数学类专业大学三四年级学生。通过学习这方面的方法和技巧,充分应用大学知识展开初步科学研究，为今后工作和研究打下良好的基础。
课题6：随机模拟的应用
指导教师：谢践生
课题简介：现实世界中很多问题无法给出精确解或者有精确解但是无法直接应
用。于是随机模拟的办法有时候就成为给出近似解的一个有效方法。本课题研究
随机模拟在很多实际问题中的应用，评估其效果、成本与效率。数学学院有概率
论与统计的初步知识的基础的本科学生即可以参与。
课题7：双曲型方程的精确能控性与能观性
指导教师：王志强
课题简介：对于拟线性双曲型方程精确能控性及能观性的研究有多方面的应用背景，在理论上有较大的难度，在数学上是一个挑战，同时也将为很多来源于物理及力学的有关实际问题提供理论依据。本课题的主要目的，是介绍和引导有志于该方向研究的同学熟悉这一领域的经典理论（希尔伯特唯一性方法HUM，对偶理论，拟线性双曲组的经典解理论）和基本问题，并在可能的情况下争取得到一定的结果。
课题8：Maxwell方程中的区域分解方法
指导教师：陈文斌 副教授。
课题简介：Maxwell方程的求解是计算领域一个重要的方法，区域分解方法作为实现并行计算的方法之一已经有了广泛的研究。本课题通过学习区域分解方法的文章，来进一步研究求解Maxwell方程的区域分解方法。
数学类专业大学二三年级学生通过学习微分方程数值解法的基本思想, 可以开展一些初步的研究。
课题9：不可压缩流体的数值模拟
指导教师：张云新
课题简介：不可压缩流体的数值模拟是近来引起人们极大兴趣的研究课题，这一方面是由于计算机技术的飞速发展使得不可压缩流体的数值模拟成为可能，另一方面是由于我们目前还无法从理论上得到该问题的解析解。对不可压缩流体进行数值模拟的主要难度是，我们要面对一组通过不可压缩条件相互耦合在一起的方程组，同时大雷诺数的情况下，求解格式的稳定性、解的多尺度性也成为我们必须要克服的困难。欢迎有志将来从事计算数学或应用数学的同学选择此研究课题，这将从理论上和动手能力上为将来的研究打下坚实的基础。
课题10：弱KAM理论和哈密顿雅可比方程的动力学
指导教师：梁振国
课题简介：
弱KAM理论是由法国数学家Fathi于上个世纪九十年代后期在著名的Aubry-Mather理论基础上发展起来的一套理论，距今不超过十年，远未成熟，大量的基本问题有待解决。特别是近来，人们发现弱KAM理论和Hamilton-Jacobi方程的粘性解存在着本质的联系，并且先后发现这几种理论同控制论及几何测度论的Stable Norm理论有着深刻的联系。弱KAM理论与Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论和经典的KAM理论又有着直接的深刻的联系。所有这一切说明，在某一个领域的发展可能会直接导致另外几个领域的共同发展。遗憾的是这些领域之间的联系并没有揭示得非常清楚。
本课题利用弱KAM理论这一纽带，结合分析，拓扑及变分的数学工具，主要研究 Hamilton-Jacobi方程粘性解正则性及近可积哈密顿系统的各类不变集的存在性及其动力学行为。
数学类专业大学二三年级学生已掌握常微分方程，微分几何基本知识的同学，可以开展一些初步的研究。已掌握一阶偏微分方程和变分学,及泛函分析基本知识的同学，可以开展一些较深入的研究。
