复旦大学数学学院2014年暑期计划（2014.7.7更新）

2014年复旦大学数学学院的暑期活动安排如下.

时间：7/7-8/1四周

• 讨论班：每周两或三次，每次三个课时

1. 基础(适合一年级学生)：

集合论: 基础集合论，集合的势, F-Z集合论公理体系;

分析原理;

代数:  Artin 代数学

另暑期高等代数提高班时间：周一2-4 周二6-8 周五2-4节 地点：HGX301

2. 提高(适合二三年级学生)：

实分析,  Real Analysis by Stein

代数拓扑, A basic course of algebraic topology by Massey

代数/数论,

• 短课：8-12次，每次三个课时

1. 概率: Introduction to infinite dimensional analysis, (B. Zegarlinski, Imperial College, UK, 应坚刚推荐)
2. 代数: 交换代数与代数几何初步(吴泉水, 陈猛)
3. 分析: Introduction to harmonic analysis and method of concentration(Zhang Xiaoyi, University of Iowa, 雷震推荐)
4. Topology: 同调理论及其应用(吕志, 马继明)
5. 几何: Yang-Mills 理论的几何及其应用

欢迎兄弟院校学生参加, 参加活动的学生可直接向数学学院报名, 报名时请注明计划参加的讨论班和课程名称,

活动主办方不收费用, 也不安排食宿(有学校食堂就餐卡可以申请).

联系人: 杜雅 021-65642344

复旦数学学院学生请直接向辅导员报名

课程详细介绍和时间安排如下

短课名称:同调理论及其应用

主讲: 吕志教授, 马继明副教授 (共9次)

1. 同调群的建立及计算
2. E-S公理化体系、万有系数公式，Kunneth公式
3. 上同调及Poincare对偶
4. 纽结的Alexander多项式与Alexander挠
5. 双曲三维流形的迹域
6. 双曲纽结的双曲挠多项式
7. 多项式的Mahler测度与三维流形的拓扑与几何（若时间允许）
8. 球面的映射度、Lefschetz不动点定理
9. 广义同调

   以上短课分为三部分。第一步分为同调的基本理论。第二部分为扭曲同调及挠不变量在三维流形中的应

用，这是同调思想的现代应用。第三部分为经典应用及广义同调。

交换代数与代数几何初步

主讲: 吴泉水教授, 陈猛教授

本短期课程共10讲，介绍基本的交换代数及其向代数几何的过渡，本课程需要的基础为高等代数和抽象代

数，课程从基于基本的代数知识，结束于介绍代数几何学科特点，是一门通俗易懂的拓展课程。

第1讲. 素理想、极大理想、Jacobson根，诣零根

第2讲. Noether(Artin)环, Hilbert基定理与零点定理

第3讲. 模的张量积，局部化方法

第4讲. AR引理、Krull定理,完备化方法

第5讲. 维数理论

第六讲 代数几何前言，簇的概念（陈猛）

第七讲 簇上的交换代数（陈猛）

第八讲 代数簇的分类方法，函数域的同构（陈猛）

第九讲 代数簇的奇点与光滑性（陈猛）

第十讲 （讲座）双有理几何简介（陈猛）

Yang-Mills理论的几何及其应用

主讲: 丁青教授

介绍: 主要用微分几何的思想和观点，介绍平凡主丛上的Yang-Mills理论，并给出其在相关的物理和

数学理论中应用。本讲座的基础知识为（多元）微积分和微分方程（常微分方程、数理方程(偏微分方程)）

，我们的目标是让学生能从中了解和体会到微分几何思想的魅力。

第一讲 欧氏空间上的外微分形式理论

第二讲 简单的Lie群、Lie代数及其双不变度量

第三讲 R4上平凡主丛的联络、曲率和Yang-Mills泛函

第四讲 Yang-Mills方程和Maxwell方程

第五讲 自对偶Yang-Mills方程的Polyakov解和t’Hooft解

第六讲 Ward猜想的由来及其研究

第七讲 零曲率表示及其规范变换

第八讲 预定曲率表示及其规范变换

第九讲 离散（量子）化的Yang-Mills理论和半经典微分方程

Title:  Introduction to harmonic analysis and method of concentration compactness 

主讲: Zhang Xiaoyi

Abstract:  The purpose of this course is to bring the audience to the frontier of critical nonlinear dispersive equations which are well developed in recent years due to the intervention of the concentration compactness technique. In this course, I will take the spherically symmetric mass critical nonlinear Schr/"odinger equation as an example and show how this technique can be applied to study the wellposedness problem for critical dispersive equations. 

   To make the material understandable even by undergraduate students, I will start from scratch and introduce the necessary harmonic analysis tools such as the interpolation theorems, the Fourier transform, the littlewood-Paley theory, Sobolev spaces. In the second part, I will introduce and prove the linear profile decomposition in various settings. In the last part, I will take mass critical NLS as an example, show these ingredients can be combined together to solve the "famous" wellposedness problem. There will be written lecture notes for this course. 

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Here is the tentative plan for the course: MW 9:00-12:00 from July 7th to July 30. 

   Week 1: Fourier transform

   Week 2: Littlewood-Paley theory and Sobolev spaces

   Week 3: Linear profile decomposition

   Week 4: Mass critical NLS

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Introduction to infinite dimensional analysis

主讲: B. Zegarlinski, Imperial College, UK

Lecture 1: Introduction to C_0-semigroup, linear and nonlinear semigroups in Banach spaces, Markov semigroups, generators, Hille-Yosida Theorem, Examples of semigroups

Lecture 2. Coercive Inequalities, Smoothing and ergodicity of semigroups, Sobolev and Nash inequalities, Ultracontractivity; Poincare and weak Poincare inequalities, Spectral properties of the generators, Coercive inequalities of Log-Sobolev type; stability with tensorization, perturbation property

Lecture 3: Techniques of proving coercive inequalities in finite dimensions; U-bounds, coercive inequalities, isoperimetric inequalities; Analysis on Lie groups; in L_p-spaces associated to probability measures with quickly/slowly decaying tails

Lecture 4: Semigroups with Hoermander type generators: constructive techniques for smoothing, short and long time quantitative estimates

Lecture 5: Analysis on extended groups: reflection operators associated to Hoermander fields, generalized first order operators, associated Markov operators and semigroups, ultracontractivity and heat kernel bounds.

Lecture 6: Probability measures and Markov semigroups in infinite dimensions: local specification and Gibbs measures, Coercive and isoperimetric inequalities for Gibbs measures; finite speed of propagation of information and construction of Markov semigroups in infinite dimensions.

Lecture 7: Constructive techniques for ergodicity: generalized gradient bounds and strong ergodicity; techniques based on Log Sobolev and weak Poincare inequalities in infinite dimensions

Lecture 8: Application of Log Sobolev to nonlinear PDEs: analysis of reaction-diffusion system.