9月4日下午，复旦大学数学科学学院第四十期院士论坛在邯郸校区光华楼东主楼2201室举行。欧洲科学院院士，ICM报告人Enrique ZUAZUA为大家带来了题目为《机器学习：数学家的视角》的专题报告。本次报告由数学科学学院院长沈维孝院士主持。
报告开始，Zuazua院士首先忆及复旦数院与欧洲学界一直以来保持的密切联系。谈到今天的报告主题，Zuazua院士指出，机器学习，特别是大语言模型如ChatGPT, DeepSeek等，已经对人们的日常生活，甚至于对最前沿的科学研究领域产生了巨大影响。机器学习的历史可以追溯到Aristotle对自动化机械的构想，从那时起，人类对自动化机械的创造发展就一直离不开控制理论。直到今日，各方面的数学领域如概率统计、逼近论、微分方程、控制论等都协同起来发展AI，数学与AI之间已经架起了学科交叉的桥梁。
在报告的第一部分，Zuazua院士带领我们从控制论的角度去理解各种机器学习范式。他首先将抽象的监督学习（Supervised Learning）范式与形象的牧羊控制模型相对比，让大家更好地理解神经网络模型对样本的控制、聚类过程。监督学习最早源于数学家Gauss提出的最小二乘法，这一方法并非追求严格插值所有散乱数据，而是从简单的线性、二次函数等空间中，找到最优拟合函数。随着人们考虑的模型越发复杂，神经网络的参数数量逐渐膨胀到了如今大语言模型的百亿级别。Zuazua指出，对这些大数据与大模型的处理遇到了两个主要的挑战：维数灾难（Curse of Dimensionality）使模型难以在高维空间中找到合适的控制路径；非凸诅咒（Devil of Non-Convexity）使模型优化陷入损失函数的局部最小值中。Zuazua院士紧接着介绍非监督学习（Unsupervised Learning）范式，他以 Lloyd 算法为例展示了非监督学习模型如何将数据点进行聚类。Zuazua院士还介绍了大语言模型的基础：下一词元预测（Next-Token Prediction）范式，指出了这一范式与人类思考方式的相似之处。这一部分的最后，Zuazua院士还以人类学习使用电脑的例子介绍了强化学习（Reinforcement Learning）的交互性特点。
在第二部分，Zuazua院士使用更深入的数学工具来解释机器学习的有效性。首先，他从逼近论的角度指出神经网络具有万有逼近（Universal Approximation）性质，他介绍了N. Wiener与G. Cybenko分别对Gauss型、Sigmoid型与ReLU激活函数建立的相关理论成果。然后，Zuazua院士从控制论与动力系统的角度，将残差网络（Residual Neural Network）与常微分方程联系起来，引出了NODE（Neural ODE）模型。Zuazua介绍了关于NODE模型的重要性质：同时可控性（Simultaneous Controllability），表现为NODE模型可以将空间中的离散数据点连续地运输到指定的位置。为了证明这一点，Zuazua院士使用魔方作为生动的类比，将NODE的每一步操作分解为对空间的超平面切割，对一半空间的冻结，还有对另一半空间的压缩、扩张或平移。最后，Zuazua院士播放了基于这一分解的演示视频，展示了NODE模型对样本进行分类的过程。
报告最后，Zuazua院士总结道，基础的数学理论可以在很大程度上解释机器学习的成功，而这仍然是一个新兴的研究方向，他鼓励大家持续在这一交叉领域上学习知识、做出成果。
在报告后的提问环节，Zuazua院士分别回答了同学们关于元学习（Meta-Learning）与机器学习未来发展的问题。他以Euler在复数领域做出的巨大贡献为例，鼓励大家打破思维惯性，探索机器学习的新范式。他还认为AI的发展或许会达到饱和，遇到瓶颈，但相信新的突破将会发轫于AI落地应用，提升全人类的生活品质。最后，Zuazua院士希望我们像1968年的科幻小说作家I. Asimov一样，畅想50年内会发生的10件事，他鼓励我们发挥想象力，并保持对未来的乐观。
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