复旦大学数学学院2016年拔尖计划暑期活动（7.1更新）

7/4-7/30

复旦大学数学学院拔尖计划暑期活动分为暑期课程和暑期讨论班, 具体见如下两个附件, 暑期课程是为大三大四有一定数学基础的学生准备的, 分代数拓扑概率三个方向的课程. 暑期讨论班是为大一大二学生准备的, 学生自己读书轮流做读书报告, 讨论班由学院教师主持. 讨论班是复旦数学自苏陈始的传统, 锻炼学生的自学能力和表达能力. 学院还为一年级同学安排一个数学分析拓展的暑期课程, 帮助大家提高对数学基础的认识.

对于学院精心组织的暑期活动, 拔尖计划内的学生要求参加, 并有一定的补助, 作为考核的一个方面, 欢迎其他对数学感兴趣的同学参加, 大一学生是否参加暑期活动是入选拔尖计划的一个重要指标.

拔尖计划是教育部对大学生拔尖人才的一个培养计划, 在出国交流以及其它学术活动方面有较大的资助, 也是一种荣誉, 对于其中出色的学生, 学校授予荣誉学位.

暑期课程也欢迎对数学有兴趣的外系外校学生自由旁听, 食宿自理.

 联系人: 杜老师, 黄老师

高年级部分

暑期短课

时间：7/4-7/30

1、暑期课程（代数方向）：代数与数论（12次）

主讲教师：陈猛（前3次），王善文（后9次）。

摘要：我们有如下古问题： 给定一个素数 m （更一般的，给定一个整数 d），如何决定那些素数p，使得 m 在模p 意义为一个平方数。欧拉于1783年猜测了该问题的答案，称之为二次互反律。高斯于1801年给出二次互反律的证明，并将之称为黄金定理。在这门课程中，我们将从不同的角度来理解二次互反律。

分次内容：

1.模

2.局部化，诺特环

3.完备化

4.数的系统

5.同余，原根，指数

6.二次互反律（I）

7.二次曲线的有理点

8.代数整数

9.类群

10.数的几何

11.Dirichlet单位定理

12.二次互反律（II）

2、暑期课程（拓扑方向）:同调理论及其应用

主讲: 吕志教授, 马继明副教授 (共10次)

同调群的建立及计算

E-S公理化体系、万有系数公式，Kunneth公式

上同调及Poincare对偶

纽结的Alexander多项式与Alexander挠

双曲三维流形的迹域

双曲纽结的双曲挠多项式

多项式的Mahler测度与三维流形的拓扑与几何（若时间允许）

球面的映射度、Lefschetz不动点定理

广义同调

以上短课分为三部分。第一步分为同调的基本理论。第二部分为扭曲同调及挠不变量在三维流形中的应用，这是同调思想的现代应用。第三部分为经典应用及广义同调

3、暑期课程(概率方向)：布朗运动与能量形式

主讲教师：应坚刚（前六次），李利平（后六次）

布朗运动是最重要的一个随机过程，也是无穷维空间上最重要的一个概率测度，本课程讲述布朗运动的构造，它的马氏性，鞅性，它的能量形式，以及它的正则子空间存在性与刻画，与数学其它分支的联系。

课程大纲（12次内容简述）

1. 预备知识：一致可积性，单调类方法，条件期望，鞅: 离散时间鞅，连续时间鞅
2. 布朗运动的构造
3. 布朗运动的性质：强Markov性，分形性质，时间逆转性
4. 布朗运动的鞅性质：首中时的分布，零点的性质等
5. 布朗运动的常返暂留性质，极集
6. Kakutani定理
7. Dirichlet形式介绍
8. 布朗运动对应的Dirichlet形式，Sobolev空间
9. 一维扩散与对称一维扩散的Dirichlet形式
10. 布朗运动正则子空间的刻画
11. 布朗运动正则子空间的结构
12. 结构及其它

前序课程要求：数学分析，概率论，实变函数，泛函分析。

教材：

1. 随机过程基础，应坚刚，金蒙伟
2. Dirichlet forms and Markov processes, M. Fukushima
3. 讲义

课程时间安排如下，地点：光华楼西辅楼HGX408

上午（9:00-11:35）  下午（2:00-4:35）

上午         下午

7/4周一  代数             概率

7/5 周二 拓扑

7/6 周三 代数             概率

7/7 周四 拓扑

7/8 周五 代数             概率

7/13 周三 拓扑           概率

7/14 周四                    概率

7/15 周五 拓扑

7/16 周六                    概率

7/17 周日 代数

7/18 周一 拓扑           概率

7/19 周二 拓扑

7/20 周三                    概率

7/21 周四 代数            代数

7/22 周五 拓扑            概率

7/23 周六 代数

7/25 周一 代数             概率

7/26 周二 拓扑             代数

7/27 周三 代数             概率

7/28 周四 拓扑

7/29 周五 代数             概率

7/30 周六 拓扑              代数

低年级部分

(一) 常规讨论班

时间: 7/4-7/30

(每个讨论班10-12次, 每次三个课时.)

讨论班每个班一般不超过10人, 视学生报名人数可能要进行筛选, 具体主持老师及时间地点待定.

课本

[A] Algebra, by M. Artin, 机械工业出版社

[AM] Commutative Algebra, by Atiyah and MacDonald

[R] Principles of Mathematical Analysis, by W. Rudin, 机械工业出版社

[E] Elements of Set Theory, by H. Enderton, 人民邮电出版社

[HK] Zermelo-Fraenkel Set Theory, by S. Hayden and J.F. Kennison

[Ma] A Basic Course in Algebraic Topology, by W. Massey, 世界图书出版公司

[SS3] Real Analysis, by Stein and Shakarchi, 世界图书出版公司

(二) 提高课程

数学分析拓展(共十次)

主讲: 楼红卫教授

本课程在普通的数学分析基础上做进一步的深入. 主要参考书:

1. 菲赫金哥尔茨, 微积分学教程, 杨弢亮、叶彦谦等译, 高等教育出版社, 2005 年
2. 楼红卫, 微积分进阶, 科学出版社, 1999 年.
3. 楼红卫, 数学分析注记
4. W. 卢丁, 数学分析原理, 赵慈庚, 蒋铎译, 机械工业出版社, 2004 年.
5. 卓里奇, 数学分析, 蒋铎, 王昆扬, 周美珂, 邝荣雨译, 周美珂校, 北京: 高等教育出版社, 2006.

内容提要:

1. 上下极限的应用:

主要涉及数学分析注记第8 部分: 上下极限

第4 部分:  Stolz 定理

2. 一致收敛性及其性质:

主要涉及数学分析注记第15部分: 一致收敛性及其性质

3. 幂级数与求和法:

主要涉及数学分析注记第18部分: 幂级数,

第28部分 阿贝尔求和, 切萨罗和与陶伯型定理

4. 连续性方法:

主要涉及数学分析注记第21部分: 连续性方法

5.  微分Darboux 定理, 比较定理的思想:

主要涉及数学分析注记第23部分: 微分达布定理及中值定理类问题

第11部分: 微分中值定理及泰勒展式

6. 函数的光滑逼近:

主要涉及数学分析注记第34部分: 函数的光滑逼近

第11部分: 魏尔斯特拉斯逼近定理的证明

7. 数学分析中的重要反例(可能需要两次甚至三次课):

主要涉及数学分析注记第35部分: 一些重要的反例

第29部分: 傅里叶级数的奇异性

第25部分: 黎曼可积的充要条件

第26部分: 无处稠密集和贝尔刚定理

8. 变分思想:

主要涉及数学分析注记第37部分: 变分思想

课程安排: 7月4-7日, 11-14日, 18-19日

上午9:00-11:35 地点：光华楼西辅楼HGX407

报名:

暑期课程报名

高年级: 代数, 拓扑, 概率

一年级: 数学分析

暑期讨论班报名

大一(数学分析, 集合论, 代数)

大二(实分析, 代数拓扑, 交换代数)