偏微分方程领域中存在着大量的尚未解决的公开问题，例如：不可压缩Navier-Stokes方程整体光滑解的存在性、非线性色散方程对应的孤子猜想等。不同类型的PDEs采取什么样的策略与方法是一个非常深刻的问题。对自由色散方程而言,解的谱落在Gauss曲率非零的光滑超曲面上，从而导致了与限制性问题密切相关研究方法，其中涉及Strichartz估计、波包分解及相应的平方函数估计、decoupling估计等，为研究非线性色散方程提供了研究框架与方法.而对椭圆方程、抛物方程而言,解的谱集具有紧化特征，此时解在物理空间具有平均特征且满足Harnack不等式，实质上提供了局部反向Sobolev不等式。 这类方程弱解的存在性可以通过变分框架或正则逼近来实现，将问题转化成弱解正则性是研究该类方程的重要方法之一。基于上述理由,诸如De Giorgi迭代、Nash-Moser迭代等经典数学方法就可发挥重要作用。本次报告拟从PDEs领域的公开问题出发，分析不同问题可能实施的不同策略以及解决这些问题的困难症结所在，为年轻数学工作者提供一些可能的思考。

杰出学者88.jpg