2008级张瑞祥同学的本科总结《路在脚下》
发布单位：教务部
张瑞祥同学在毕业之际写了一篇总结文章，发在这里，但愿能给读者一点启示。
人物简介：张瑞祥，人大附中2008届毕业生，2008年获得国际数学奥林匹克竞赛金牌。北京大学数学科学学 院2008级本科生，2012年第八届学生五四奖章获得者，在数学领域取得多项国际国内奖项，学术研究成绩突出。曾被两次评为北京大学三好学生、一次评为北京大学三好标兵，获得过北京大学国家奖学金、北京大学廖凯原奖学金、北京大学星光国际一等奖学金、北京大学明德新生奖学金等。
路在脚下
张瑞祥 2012-06
毕业在即这一事实，难免时常勾起往日在这个园子里的种种记忆。纵观本科四年往事，想到光阴的巨轮就这样悄没声息而又大刀阔斧地改变着自己，有时也不免在更加怀旧的同时感到些微伤感。
如今一见到朝气蓬勃的学弟学妹们，总是很想坐下来好好和他们聊聊，从他们那里找回自己最好的时代的记忆，又能让自己的经验帮助他们走上捷径从而让这些经历有所贡献。不过有时也会转念想到，很多事情如果没有自己亲身的体会，是很难只听别人说话就获得大量能用于实战的经验的，这又使得一个合格的“经验介绍”的难度和艺术性大大加大了。后来仔细想想，既然亲身的体验如此弥足珍贵，那么不妨就来写篇文章记录一下自己珍藏心中的成长经历，也趁机纪念一下这逝去的青春岁月吧。
回首四年前，我带着一点好奇和一点迷茫走进了梦寐以求的北大校园。虽然在中学的数学竞赛里战功赫赫，但是来到了大学的数学课堂里我很快发现，自己还是需要从头进行从微积分和线性代数开始的现代数学殿堂之旅。在上大学之前，我几乎没有看过线性代数和微积分。而到了北大，周围忽然多了一圈早就看过不少数学分析和高等代数，做过或正在做许多习题的同学们。这种情况重新唤起了我的紧迫感，我开始像中学一样把考试作为一种挑战，平时没事的时候就以大量的做题为主。现在想起来，这段懵懂的经历虽然花费了我很多的时间，但毕竟也为我积累了宝贵的基本功。
当时教我数学分析的是李伟固老师。李老师讲课十分幽默风趣，深受同学喜爱。他在第一节课就给了我们一句忠告：“多看书，不要没完没了地做题。”幸好我当时把这句话工工整整地记了下来并且一直将之奉为圭臬，这才算没有完全在做题的漫漫长路上迷失方向。我努力在读书的时候认真思考，弄清每一个步骤的逻辑，让所有细节都了然于胸，甚至找出了书上许多错误，有时会为自己找到的简单证明替代书上的并得意一整天。现在看来，那时在看书和做题的时候养成的这种在学习中乐于思考的习惯，也是十分有益的。
在这种“正常”的大学初期的生活节奏之中，我也开始注意到身边的一些同学。他们用行动在向我诠释着我想都没曾想过的学数学的方式。有些同学从许多课外书上吸取了教材中没有的不少知识，常常在和我讨论的时候能使我思路更加开阔；有些同学已经开始阅读数论和代数几何的相关入门书籍，使得我在旁观时总是充满好奇与不懂交织的复杂心情；有些同学常常和老师讨论数学和数学工作者的生活，也乐于阅读一些现代数学相关的科普著作，每当他们和我聊起天来，我总能听到许多陌生的数学家、陌生的学科的名字以及一些相关的故事，用一句流行语来说就是，我“虽然不知道他们是谁，这些学科是什么，但是听起来觉得好厉害”。
另一个让我对数学学习不断重新认识的地方，是高等代数课程的习题课堂。我的高等代数课程助教一直都是许金兴学长，他在习题课上总是能够深入浅出地讲解一些课本上没有但又很重要的相关知识，比如群和环的定义，比如同态，比如李代数，比如正合序列。我听得津津有味，觉得学到了许多课上没有学到的有趣代数知识。更重要的是，我在助教的帮助下，似乎模模糊糊地看到了一些不同数学对象之间的联系，也朦朦胧胧地感到了现代数学大厦的宏伟与壮观。这个时候，我逐渐发现学习的知识容量越来越大，在课堂内外可以做的事情也越来越多。慢慢地，我感到做题时间不够用了，于是就这样一边担心自己会不会学不好，一边就这样被迫减少了自己的做题量。不过马上又发现，这基本对考试没太多影响。也许基本功到达一定水平以后真的就不需要做太多题了呢，我这样想着，安下心来。
记得在大二刚开始的时候，沈才立学长（梦里江河注：两届IMO金牌获得者）曾对我强调过大二是很重要的一年，用好它可以学到很多。有了这句忠告在心，我便打算好好利用这一年。不过这句话对当时毫无经验的我来讲，几乎只能是一句抽象的空话。大二的开始，除了上的课不同，习题课少了以外，我没有什么特别的感觉。不过就在这个时候，新的挑战也已经开始悄悄地走进了我的学习生活。
早就听说学长学姐们不断强调讨论班的重要性，我也就兴致勃勃地报了一个低年级讨论班（那个时候我们的条件还没有数学科学学院同学今天这么好，学院还没有系统地开设低年级的讨论班甚至诸如数学分析选讲这样的好课程，官方的低年级讨论班处于一种很零散地开设的状态，每年也就一两个）。
讨论班的教材叫做《酉表示与调和分析》，我则和多数成员一样，既不知道什么是酉表示也不知道什么是调和分析，纯粹怀着一种多学东西的目的而来。不过从我们自己开始讲，开始看书的那一刻起，麻烦就开始出现：强弱收敛、Lebesgue 积分、Fourier变换、李群和谱分解等我们以前从没听说过的东西接踵而至，使我很快应接不暇。一开始还能勉强从逻辑上推出所有细节，但没过几节课就有许多内容已经跟不上了。由于大部分内容不需要我讲，从考试的角度也不需要我掌握，我便开始有些懈怠和破罐破摔，许多内容都是“裸听”同学讲，而效果也不是特别好。于是一学期下来我就强烈地感觉到虽然我搞清了许多细节，可是这个领域的问题还是停留在最多只能看懂但还完全无法找到真正做一个相关问题（哪怕是习题）的感觉的水平，这个感觉非常不好，我甚至觉得以后肯定做不了这些东西了。
戏剧性的是，就在接下来的大二下学期，我的数学学习观再次发生了巨大的变化。由于选了相关的复变函数课程，我认识了任课的范后宏老师。通过几次上课和与范老师的交流，我被他对数学许多分支及其之间联系的颇为深刻的体会以及由此而来的对数学的热爱深深吸引。他讲的许多话，上至古今各位数学家和他们的发现，下至复变函数从复数的定义开始的各种基础知识以及与现代数学的联系，都既给了我一种以前完全没有过的体验，又让我觉得以前只会重视阅读教材做题和考试的自己与这种理解数学的方式相见恨晚。我感到自己的眼界正在开始打开，通过一次又一次与范老师的交流，我对现代数学中的分析、代数、几何与拓扑等分支的全景有了更多更全面的接触。我发现只要自己肯拿出自己的时间，那么与范老师的交流就是一大乐事，他乐于十分耐心地和我们谈各种有关数学和人生的话题，而我也清清楚楚地看到了他眼中的数学那‚最可靠的“真”，“最广泛的善”和“最永恒的美”，而他反复强调的本科阶段应该着重培养的“提出问题”和“评价问题”的能力也使我耳目一新。（这里还想向大家特别推荐一下我从范老师那里知道的一本记录Fields 奖得主的建树与见解的科普读物《当代数学精英》，它给了我很多启发）现在我眼中的数学，已经远远超过了印在试卷或者教科书上的一道道题目，甚至数学课上写在黑板上的那一行行推导，而变成了一种有血有肉、博大精深的文化，一个有机联系的整体，一套套凝结着无数前辈智慧和汗水而又每时每刻在被优秀的年轻一代所改写的深刻理论，一个个可谓是每一个相关数学家的梦想的重要问题以及先辈在迈向这些问题的路上的深深足迹。
我想我最终选择继续研究数学，除了自己自幼本来对初等数学和大学里的数学基础的兴趣以外，也是和这段经历分不开的：正是因为叹服于这座在我面前出现的数学殿堂的美与宏大，又钦佩和向往范老师以及许许多多我逐渐耳闻的数学家们讲起、做起自己喜爱的数学时那种沉醉其中和忘我工作的那种感觉，我才果断地推开了这座圣殿的大门，步入其中。
这时的我也初识了包括Riemann 面这样有趣的数学对象，觉得数学中“整体性”的东西非常吸引自己，再加上我高中对于拓扑学的科普书中所说的从闭曲面与纽结开始的神奇的拓扑学的好感，我也就顺理成章地萌生了进行拓扑学方向的本科生科研的想法。我和另外两位同样想对拓扑学有深入了解的同学一起找到范后宏老师，开始了我们关于拓扑的本科生科研。范老师非常关心学生，对学生要求也非常严格。他经常在讨论班上直言不讳地指出我们讲课过程中的不足，也常常提出一些可供我们思考的问题并督促我们养成善于提问的好习惯，或是和我们交流对相关内容的理解。我也渐渐开始意识到，拓扑学有着远比我中学科普读物上的那些关于纽结和闭曲面的初等介绍更为丰富的内涵。范老师非常强调拓扑与代数几何之间的联系，因此我们的初期工作就以代数曲线为重心。从此开始，从一开始对代数几何的不了解甚至有点反感，到“因为和拓扑有关而被迫学习”，再到学完以后领会代数曲线的数学美及其重要性，是我这段时间最神奇也最重要的收获之一。
正是这一系列始于复变函数课的点滴而又巨大的改变，使得我在数学这个领域真正开始“睁眼看世界”。回首上面说到的，当年大一在和我聊数学的时候常常使我惊讶的那些同学们，我终于意识到他们才是更早清醒，更早脱离了只懂得看教材、复习、预习以及做习题这些中学的学习方式（当然，这对于培养基本功, 避免眼高手低夸夸其谈是至关重要的，但是对数学学习还远远不够）的人。我也明白了当时参加低年级讨论班那段迷茫经历的真正原因，就是学得太过死板，只注重细节和逻辑，而缺少理念和大局观，至少缺少对这些东西的有意识寻找和捕捉。我庆幸现在的自己既找到了能让自己享受其中而又非常有效的数学学习方法，又重新得到了对各个数学分支的兴趣。
也就是这样，我步入了大三。除了自己的科研，我也选了大量觉得自己可能感兴趣的专业课程，有些例如《同调论》也是对科研的很好补充。带着这种新的学习态度，我心中已经不是入校时的那种朴素的好奇和迷茫，而是充满了学习前人经验和探索理解未知世界的求知欲、热情、自信和严谨。我真正理解了我们学习这些数学课的目的，也就是朱煦雯学姐在她的毕业感言中引用的老师的话“要做知识的主人，而不是分数的奴隶”。
在我的数学观转变之后，我确实感到学习数学是一件乐事，感到自己力不从心的时候少多了，在数学里的探索也更自由了。三年级我虽然选课较多，但是由于求知欲非常强烈，加上改进了学习方法，我的动力在大多数情况下也足够，而这年也是我收获最为丰富的一年，也进一步认识了许多好老师。限于篇幅，赘述一篇大三生活流水账不太可能是我的风格，因此接下来我只写写印象最深的两件事情。
由于选了一些与几何相关的数学物理方面的课程，我认识了幽默风趣而颇具亲和力的刘张炬老师。刘老师的教学风格，基本上可算是循循善诱夹带一丝幽默诙谐中渗透着对我们的关心和严格要求。而我从他那里也学到了很多，最重要的数学直观的有意识培养。刘老师常常说，要尽量把一个东西“看”出来而不是纯粹“算”出来。对于许多本来是非常抽象的代数与几何语言和推导，刘老师总是能够清晰地讲出背后的直观所在。这也一次又一次地启发着我，一定要有意识地建立数学的逻辑推理背后的直观。后来这被我的经验证明在任何数学分支里，这几乎都是一条极其有用、极其重要的准则。有了正确的直观，数学就能“学活”，一个人就能把握住前进的方向，也是创造性的工作不可或缺的。当然，这里的直观必须是正确的，而逻辑推理其实只是数学的一个重要工具，其最终目的之一，就是在我们的脑海中造就对一些数学对象清晰而正确的直观。不得不说，我现在在数学上的“主动寻找直观”的意识，很大程度上得益于刘老师的有意训练。
而另一件事情则又是一个戏剧性的转变。随着对进阶课程的学习，我开始对许多课程有了广泛的兴趣。而我很快就在学习刘和平老师的实变函数课程的时候感到自己对分析学也产生了很大的热情。到了大三的下学期，我便继续选了刘老师的研究生课程实分析。刘老师讲课非常细致清楚，我在被调和分析中的种种现象和研究手法如典型的“Fourier 变换”和“分解”思想的美与深刻震撼的同时，也从同期的其它分析课程中进一步感受到了分析的魅力。同时，也开始在一些几何课程中体验到了分析的用处。于是就这样，我的兴趣新增了“分析”这个分支。慢慢地，我感到自己对于拓扑和分析有着同样的兴趣，也能在其中发现同样深刻的美，我甚至还惊讶地发现，自己似乎在分析上的想法更加多一些，感觉更好一些。于是我开始慢慢偏向了分析，最终也选择了分析作为近期自己的主攻方向。
这已经是大四的事情。我也已经开始进行着留学申请的各种繁杂程序。这段时间我继续学着一些我比较感兴趣的分析和非分析课程，并且参加了数学中心的讨论班。在分析讨论班上，我认识了刚从IAS(Princeton 高等研究院)归来的郭紫华老师。郭老师也非常喜欢强调直观，并且善于提出问题。和郭老师的每次交流，也让我受益匪浅。最终由于我有兴趣对限制性猜想这个调和分析的核心问题有所了解，我找到了郭老师作为我的毕业论文导师。在学习许多最近的相关进展的同时，我也惊讶地看到了代数和拓扑在分析中的绝妙应用，这在以前简直是我难以想象的。我再一次被数学的统一美和勃勃生机所折服，也欣喜地发现自己证明了当初本研打下的一点点拓扑和代数曲线基础最终也被证明即使在分析里也是大有用场的。当然，我还没能在这方面做出原创性的成果，我也期待将来真正看到自己在北大数院练就的这一身数学中许多学科的基本功得到100%的施展。
我的申请结果让我非常满意，那些录取我的大学也照例给我提供了去它们校园参观、与老师交流的宝贵机会。这一趟校园旅行，我收获颇丰。不仅见到了各个大学美丽的校园和优秀的同学，更留下了和许多熟悉有陌生的大名鼎鼎的人物聊天的珍贵经历：Carlos Kenig，吴宝珠，Igor Rodnianski，Barry Mazur，Benedict Gross，Michael Hopkins，Clifford Taubes，Peter Sarnak，SergiuKlainerman，Elias Stein，Jean Bourgain，和这些以前只在书上和网上反复见到的一位位教授们在现实中面对面地聊数学，使我一次又一次地被大家风范所震撼，一次又一次地牢记住大师们的真知灼见和金玉良言。而他们的平易近人，又使我彻底放下心来：原来即使是数学大家也大多不是怪才，而是一个个和你我一样的正常人！他们对我的一次次鼓励，使我感到无比温暖。而另一方面，他们对数学的热爱和投入也在时时刻刻勉励着我。
我最终选择了普林斯顿大学，即将到那里进行深造。回头望去，自己脚下的这条路充满了艰辛的历程和戏剧性的转折。我很庆幸，这些年自己已经初步开发了自己最感兴趣和最擅长的方向，而没有太多盲从或者彷徨，算是快乐而自由地生活了四年。我也很高兴地看到了许多好友们都踏上了自己喜爱的道路，这些道路分分合合，延向四面八方。不过他们共同的一点是，每个人都在自己的道路上发挥着自己独特的那份价值。
的确，也许大学的终极意义也正是让每一位学生能够真正发现和利用自己的兴趣和特长从而快乐幸福地继续在人生的道路上走下去吧。我这段经历，也正是一种发现和养成兴趣的过程。如上所述，我的老师们和同学们（限于篇幅，我已无法列举对所有老师和帮助过我的同学的感谢）在这个过程中也给予了我巨大的帮助。我也由衷地希望所有同学们在犹疑彷徨的时候，能够从我或者其它同学的经历中得到一点启发，能够在数院这个温暖的大家庭中得到及时的帮助。
根据自己的切身经历，我也深信只要你在世界的喧嚣中稍稍静下心来，坚持追寻内心的那份最原始的冲动与信念，并且有着接受新生事物和观点的开放的头脑，你就会在不知不觉流逝的岁月里惊奇地发现，原来那条专属于你自己的路，每时每刻从来没有离开过你的脚下。
北大一位同学的毕业总结
