复旦大学数学科学学院2019年拔尖计划暑期活动（6.21更新）

复旦大学数学科学学院为对数学有兴趣的学生安排暑期讨论班和暑期课程，欢迎学生积极参加。也欢迎外校学生参加，外校学生请扫描以下二维码报名,报名截止到6月18日。联系人：杜老师。特别提醒，学院不负责食宿，请同学们自行解决。

一、  暑期讨论班：

时间：7月1日-7月26日，三~四周

开设以下常规讨论班：

 具体时间和地点安排如下：

讨论班教材和参考书

分析:

l  数学分析原理

Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, 机械工业出版社

l  实分析

Real Analysis, Stein and Shakarchi, 世界图书出版公司

代数:

n  代数II

主要参考教材：

[Ar] M. Artin, Algebra (Second Edition), 机械工业出版社.

主体内容：

[Ar] 第11章 Rings, 第12章 Factoring, 第14章 Linear Algebra in a Ring, 第9章 Linear Groups, 第10章 Group Representations.

附加内容（可选择）：

□ 主理想整区上的模论，可替代 [Ar] 第14章 Linear Algebra in a Ring，参考教材：

[Ja] N. Jacobson, Basic Algebra I, Chapter 3, Modules over a PID.

□ 二次数域，参考教材：

[Ar] 第13章 Quadratic Number Fields,

[Co] D.A. Cox, Primes of the Form x²+ny².

[Mar] D. Marcus: Number Fields, Chapter 1 and 2, Springer-Verlag.

[Se1] J.P. Serre, A course in Arithmetic.

□ 表示论可选专题（依指导老师倾向选择）：

1. Young Table;

2. Classification of Representations of GL₂(F_p).

其他参考教材：

[Feng2] 冯克勤, 章璞, 李尚志, 群与代数表示引论.

[Se2] J.P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer.

n  交换代数

主要参考教材：

[AM] Atiyah and MacDonald, Commutative Algebra.

主体内容：

[AM] 第1章 Rings and Ideals，第2章Modules，第3章Ring and Modules of Fractions，第4章Primary Decomposition，第5章Integral Dependence and Valuations，第6章Chain Conditions，第7章Noetherian Rings，第8章Artin Rings，第9章Discrete Valuation Rings and Dedekind Domains，第10章Completions，第11章 Dimension Theory.

几何/拓扑:

u  曲线和曲面的微分几何

主要参考教材：

[C1] Differential Geometry of Curves and Surfaces, M. do Carmo, 机械工业出版社

主体内容：

[C1] 第1章 Curve 第2章 Regular surfaces 第3章 The geometry of the Gauss map 第4章 The intrinsic geometry of surfaces

u  代数拓扑

主要参考教材：A Basic Course in Algebraic Topology, by W. Massey, 世界图书出版公司

概率/计算:

Ø  概率论I

主要参考教材：Foundations of Modern Probability (现代概率论基础 第2版) 前10章

作者：Olav Kallenberg

出版社：科学出版社 第2版 (2006年/国外数学名著系列（影印版）4)

二、  暑期课程：

1、课程名称：ZFC set theory and elementary logic

授课教师：Will Johnson, Postdoc, Fudan University School of Mathematical Sciences

课程介绍：This course will cover some elementary topics in mathematical logic, specifically some elementary results in set theory, proof theory, and model theory.

On the set theory side, we will discuss Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC) set theory, answering the questions:

1. What exactly are the ZFC axioms?
2. Why must we be cautious when choosing axioms for set theory?
3. How do the ZFC axioms serve as a foundation for mathematics?

We will also prove Zorn’s lemma and the basic facts about cardinal arithmetic.

The remaining lectures will cover basic results in proof theory and model theory, the two subjects that directly analyze logical reasoning.  There are two complementary goals:

1. Write down a complete axiomatization for the complex numbers.
2. Show that there is no complete axiomatization for the integers (Goedel’s incompleteness theorem).

课时：9课时，共三次课每次3课时

时间：7月8日-7月12日  每周一、周三、周五 晚上18：30-21：00

教室：光华西辅楼409

预修课程：The intended audience is mathematics majors.  Students should be familiar with functions, equivalence relations, fields, and mathematical induction.  It may help to know what a ring is.  We do not assume familiarity with the ZFC axioms or the proof of Zorn’s lemma.

具体安排：The course will consist of nine lectures.  Each lecture will be 45 minutes long, in English.

第一讲 The ZFC axioms; well-ordered sets

第二讲 Von Neumann ordinals and Zorn’s lemma

第三讲 The construction of the real numbers

第四讲 von Neumann cardinals

第五讲 Cardinal arithmetic

第六讲 First-order logic

第七讲 Completeness and compactness in first-order logic

第八讲 Elementary extensions, Loewenheim-Skolem

第九讲 Goedel’s incompleteness theorem

2、课程名称：广义相对论

授课教师：朱家林（上海数学中心青年副研究员）        

课程介绍：讲授Einstein的广义相对论，以及其数学基础：黎曼几何学。教学的目标：让学生了解一些现代数学概念的物理意义，引导学生从数学之外的一个新的维度，物理学的维度，来更加深刻的理解、思考数学。教材为：《广义相对论》（General Theory of Relativity）,P.A.M. Dirac 著，普林斯顿大学出版社出版。

课时：27课时，每周三次课每次3课时。

时间：7月8日—7月27日  每周二、周四、周六下午13：30-16：30

教室：光华西辅楼409

预修课程：微积分，线性代数。

具体安排：

第一讲， 狭义相对论简介

第二讲， 张量、弯曲空间

第三讲， 平行移动、Christoffel符号、测地线

第四讲， 协变微分、曲率张量

第五讲， 引力的Einstein定律

第六讲， Schwarzchild解、黑洞

第七讲， Einstein引力场方程

第八讲， 引力的作用量原理

第九讲， 引力波

3、课程名称：数学分析提高班

授课教师：楼红卫（复旦大学数学科学学院教授）

课时：27课时，每周三次课每次3课时。

时间：7月8日—7月24日  每周一、周二和周三上午8：30-11：30

教室：光华西辅楼409

本课程在普通的数学分析基础上做进一步的深入. 主要参考书:

1.菲赫金哥尔茨, 微积分学教程, 杨弢亮、叶彦谦等译, 高等教育出版社, 2005 年

2.楼红卫, 微积分进阶, 科学出版社, 1999 年.

3.楼红卫, 数学分析要点难点与拓展 (即: 数学分析注记), 高等教育出版社, 2019 年

4.楼红卫, 数学分析技巧选讲

5.W. 卢丁, 数学分析原理, 赵慈庚, 蒋铎译, 机械工业出版社, 2004 年.

6.卓里奇, 数学分析, 蒋铎, 王昆扬, 周美珂, 邝荣雨译, 周美珂校, 北京: 高等教育出版社, 2006.

内容提要:

1.  概念/记号的力量:

数学分析注记    第13 部分: Euler 公式

数学分析技巧选讲 第1 部分: Euler 公式

第4 部分: 微分算子 D

第13 部分: 连续模

2.  上下极限的应用:

数学分析注记    第8 部分: 上下极限

第4 部分:  Stolz 定理

数学分析技巧选讲  第2 部分: 上下极限的运用

3.  等价关系:

数学分析技巧选讲 第8 部分: 等价关系

4.  幂级数与求和法:

数学分析注记     第18部分: 幂级数,

第28部分 阿贝尔求和, 切萨罗和与陶伯型定理

5.  连续性方法:

数学分析注记     第21部分: 连续性方法

6.   微分Darboux 定理, 比较定理的思想:

数学分析注记     第23部分: 微分达布定理及中值定理类问题

第11部分: 微分中值定理及泰勒展式

数学分析技巧选讲  第3 部分   微分 Darboux 定理

7.  摄动与逼近:

数学分析注记     第34部分: 函数的光滑逼近

第11部分: 魏尔斯特拉斯逼近定理的证明

数学分析技巧选讲    第7 部分:  摄动与逼近

8.  数学分析中的重要反例:

数学分析注记      第35部分: 一些重要的反例

第29部分: 傅里叶级数的奇异性

第25部分: 黎曼可积的充要条件

第26部分: 无处稠密集和贝尔刚定理

9.  变分思想:

数学分析注记      第37部分: 变分思想

10. (速降函数类中的) Fourier 变换

数学分析注记      第19部分: 傅里叶级数